Οι εξετάσεις για τα Πρότυπα και τα τρένα που… φύγαν

Παρ’ όλο τον θόρυβο την προηγούμενη εβδομάδα σχετικά με τις εισαγωγικές εξετάσεις στα Πρότυπα Σχολεία, για Γυμνάσια και Λύκεια, από επίσημα χείλη κάπου ειπώθηκε χωρίς να δοθεί συνέχεια πως «όλα καλά» και τίποτα άλλο. Λες και όλα έγιναν τέλεια. Η σιωπή όμως δεν είναι πάντα χρυσός, ας το έχουν υπόψη τους οι σιωπούντες διότι ήλθαν πολλά μηνύματα από γονείς απογοητευμένους και δεν ξέρω πόσο ζεστοί θα είναι οι επόμενοι για τις εξετάσεις του άλλου χρόνου.

Έριξα μια ματιά και στα θέματα για τις εισαγωγικές από το Γυμνάσιο στο Λύκειο. Η κατάσταση για τους διαγωνιζόμενους θα πρέπει να ήταν καλύτερη από ό,τι έζησαν τα παιδιά του Δημοτικού. Που δεν είχαν και την εμπειρία γραπτών εξετάσεων σε σχέση με τα παιδιά του Γυμνασίου.

Ξεχώρισα δυο από τις εκατοντάδες τα μηνύματα των γονιών διαγωνιζόμενων παιδιών, που έγραψαν κάτι σχετικά με την εμπειρία τους:

Α: «Το δικό μου το παιδί ( υποψήφιο για Γυμνάσιο) όταν βγήκε από το εξεταστικό κέντρο ήταν ενθουσιασμένο. Κατά τη γνώμη του και για όσες απαντήσεις ήταν σίγουρος ότι είναι οι σωστές , θεωρούσε ότι έχει γράψει ένα υψηλό ποσοστό!!

Επέλεξε να δούμε μαζί τα θέματα – απαντήσεις ώστε να επιβεβαιώσει! Είδε ότι κάποια για τα οποία ήταν 100/100 βέβαιος, ήταν λάθος ως απάντηση και συγκεντρώνει εν τέλει κάπου 60-62/100.

Είμαστε σε σχολείο της περιφέρειας, ωστόσο, με όσα διαβάζουμε περί ανόδου βάσεων…. ομολογώ ότι είμαστε με το ένα πόδι έξω! Να σημειώσω (όχι για να φλεξαρω που λένε και τα εφηβακια αλλά για να υπογραμμίσω τη δυσκολία των θεμάτων) ότι ο γιος μου έχει βραβευθεί στη Μαθηματική εταιρεία».

Β: «Το παιδί μου είναι σε ένα από τα πιο δημοφιλή πρότυπα της Αττικής. Πέρασε την διαδικασία των εξετάσεων με φροντιστήριο. Ένα χρόνο του λέγαμε ότι αποκλείεται να περάσει γιατί οι πιθανότητες δεν είναι με το μέρος του, αλλά αυτό που κάνει θα τον ωφελήσει μαθησιακά στο Γυμνάσιο. Έτσι πήγε χωρίς κανένα άγχος…ζεν!

Στο πρότυπο που είναι τώρα οι καθηγητές δεν διαφέρουν από τα υπόλοιπα δημόσια σχολεία. Υπάρχουν καλοί και κακοί (εννοώ χωρίς μεταδοτικότητα που κάνουν βαρετό μάθημα και κανένας δεν προσέχει). Το μεγάλο πλεονέκτημα είναι ότι χωρίζεται η τάξη σε δύο τμήματα στα βασικά μαθήματα και έτσι κάθε τμήμα έχει 12 μαθητές.

Οι συμμαθητές, ενώ ξεκίνησαν ως άριστοι που πέτυχαν στις εξετάσεις, δεν είναι πια όλοι άριστοι. Υπάρχουν 2-3 εξαιρετικοί μαθητές, αρκετοί καλοί ή μέτριοι και κάποιοι τα έχουν παρατήσει και γράφουν κάτω από τη βάση.

Το παιδί μου είναι πολύ ευχαριστημένο και χαρούμενο, αλλά έτσι θα ήταν και σε οποιοδήποτε άλλο σχολείο γιατί είναι ο χαρακτήρας του τέτοιος».

Ας δούμε τέλος και το περίφημο θέμα που παιδιά της 6^ης Δημοτικού θα έπρεπε να απαντήσουν μέσα σε μικρό σχετικά χρονικό διάστημα και η δυσκολία του μάλλον έχει διαφύγει από όσους διαμαρτύρονται για τα θέματα. Το κείμενο ήταν το εξής:

39. Ο Χρήστος ξεκινάει από το σπίτι του μια συγκεκριμένη ώρα κάθε ημέρα και πηγαίνει στην παραλία μέσω μιας ευθείας διαδρομής. Όταν πηγαίνει με το ποδήλατο και με σταθερή ταχύτητα 25 χιλιόμετρα την ώρα, φτάνει στις 3:00 μ.μ. Όταν πηγαίνει με τα πόδια και με σταθερή ταχύτητα 5 χιλιόμετρα την ώρα, φτάνει στις 3:40 μ.μ. Τι ώρα ξεκινάει από το σπίτι του;» .

Οι επιλογές ήταν: Α:2:30 μμ Β: 2:52 μμ Γ: 2:50 μμ Δ:11:40 πμ Ε: 12:40 μμ

Κατά την γνώμη μου θα πρέπει ο διαγωνιζόμενος να είναι εξοικειωμένος πρώτα απ’ όλα με τον γνωστό τύπο της Φυσικής ταχύτητα = (διάστημα/χρόνος) της ομαλής κίνησης. Και από εκεί έχουμε ότι διάστημα = (ταχύτητα)(χρόνος). Οπότε για το ίδιο διάστημα με διαφορετικές ταχύτητες θα ισχύει ότι s= t1v1 = t2v2. Άρα (t1/t2)=(v2/v1) με v2=5 , v1 = 20 προκύπτει ότι (t1/t2)=(1/5). Αυτή θα είναι η σχέση των χρόνων ανάλογα αν πηγαίνει με τα πόδια ή με το ποδήλατο. Οι εξεταστές υπέθεσαν ότι τα παιδιά της 6^ης Δημοτικού θα είχαν χωρίς αυτές τις διαδικασίες έτοιμο το ότι οι χρόνοι θα είχαν αυτή την σχέση; Ακόμη και αν το δεχτούμε έτσι αυτό δεν είναι αρκετό. Διότι τώρα πρέπει να κάνουν μια άλλη σκέψη. Ο χρόνος t1 που κάνει με το ποδήλατο είναι μια «ποσότητα» πριν τις 3μμ. Και ο χρόνος t2 για την διαδρομή με τα πόδια είναι η ίδια «ποσότητα» μέχρι της 3 μμ συν τα (30+10)=40 λεπτά μέχρι τις 3:40 που φθάνει με τα πόδια. Έτσι σχηματίζουμε τον λόγο [t1/(t1+40)]= (1/5). Και τώρα πρέπει να λυθεί η προηγούμενη εξίσωση που δίνει t1= 10. Άρα ξεκινάει στις 2:50 μμ δηλαδή είναι το Γ!.

Αυτά τα ολίγα για ένα μόνον θέμα.

Από τα θέματα για την εισαγωγή στο Λύκειο ξεχωρίζει νομίζω εκείνο που θέλει Λογική διότι δεν νομίζω πως διδάσκεται συστηματικά αυτό στο Γυμνάσιο.

40. Έχουμε σε ένα τηλεπαιχνίδι τέσσερα κουτιά κλειστά με τις εξής επιγραφές αντίστοιχα στο εξωτερικό τους: Α: «Είμαι άδειο», Β: «Έχω το δώρο», Γ: «Το Β είναι άδειο», Δ: «Το δώρο είναι στο Γ». Μας λένε ότι μόνον ένα κουτί περιέχει δώρο και μόνον ένας από τους ισχυρισμούς στο εξωτερικό τους είναι αληθής. Ποιο κουτί έχει το δώρο; Α, Β, Γ, Δ ή μήπως δεν έχουμε αρκετά στοιχεία για να το βρούμε;

Απάντηση: Δοκιμάζοντας εκδοχές( σε πόσο διαθέσιμο χρόνο για έναν εξεταζόμενο;) εξετάζουμε και την περίπτωση όπου είναι αληθής ο ισχυρισμός στο κουτί Γ: «Το Β είναι άδειο». Άρα είναι ψευδής αυτός του Δ αλλά και του Β, οπότε τί μένει να είναι ψευδές και του Α άρα εκεί βρίσκεται το δώρο.

Αυτά, και ας ευχηθούμε ότι το Υπουργείο θα κατανοήσει τουλάχιστον πως αν θέλει να κάνει κάπως πιο δίκαιες τις εξετάσεις θα πρέπει να δώσει την ευκαιρία με δωρεάν μαθήματα μέσω Διαδικτύου σε όλα τα παιδιά όλων των οικογενειών. Στον τελικό γύρο ενός τηλεπαιχνιδιού υπάρχουν τέσσερα κουτιά και ο παίκτης καλείται

Και άλλα προβλήματα;

1. Να ένα παλιό made in China, που θα μπορούσε να δοθεί στις επόμενες εξετάσεις χωρίς να προκαλέσει: Ένας καλλιεργητής έχει στο καρότσι του το ρύζι που παρήγαγε και περνάει από τρία διαφορετικά καταστήματα. Στο πρώτο αφήνει το (1/3) της παραγωγής του. Στο επόμενο αφήνει το (1/5) της ποσότητας που είχε μείνει και στο τρίτο το (1/7) από όσο είχε μείνει. Στο τέλος στο καρότσι του υπήρχαν και 5 κιλά ακόμη. Πόση ήταν η αρχική ποσότητα του ρυζιού;
2. Όταν ένα τρένο Α κινείται με την ανώτερη ταχύτητά του και κάποιος παρατηρητής είναι σε ένα σταθερό σημείο Σ δίπλα στην γραμμή σημειώνει ένα χρόνο 8 δευτερολέπτων από την στιγμή που φθάνει η μηχανή στο σημείο Σ μέχρι να περάσει και το τελευταίο της βαγόνι από εκεί. Για ένα άλλο τρένο Β χρειάζονται 12 δευτερόλεπτα. Αν τα Α και Β κινηθούν αντίθετα σε παράλληλες(ευτυχώς) γραμμές, από τα παραπάνω δεδομένα τί προκύπτει για τον χρόνο που θα σημειώσει ένας παρατηρητής όταν συναντηθούν και προσπερνούν το ένα το άλλο;

Εδώ είναι και οι λύσεις, ευτυχώς

1. Απάντηση

Αυτό είναι ένα παράδειγμα προβλήματος που μπορεί να ξεκινήσει κάποιος από το τέλος. Δηλαδή από τα 5 κιλά που του έμειναν. Και μάλιστα χρησιμοποιώντας την απόλυτα κατανοητή στα παιδιά μέθοδο των τριών ως εξής: Το λεπτό σημείο είναι ότι αφού άφησε στον τελευταίο σταθμό του το (1/7) από όσο είχε και μετά βρέθηκε ότι υπήρχαν ακόμη 5 κιλά αυτό σημαίνει ότι τα (7/7)-(1/7) = (6/7) ήταν τα 5 κιλά. Και μπορούμε αρκετά κατανοητά πλέον ότι αφού τα (6/7) αντιπροσωπεύουν τα 5 κιλά τα (7/7) σε πόσο αντιστοιχούν. Και η μέθοδος των τριών θα δώσει 5(7/7)/(6/7) δηλαδή 5(7/6). Πηγαίνοντας ακόμη πιο πίσω, στον δεύτερο σταθμό κάνουμε το ίδιο φυσικά. Δηλαδή τα (5/5)-(1/5)= (4/5) αντιστοιχούν στην ποσότητα που πήγε στον τρίτο σταθμό. Αφού λοιπόν τα (4/5) αντιστοιχούν στα [5(7/6)] τα (5/5) θα είναι [5(7/6)] (5/4) . Και στον πρώτο σταθμό αυτά ήταν τα(3/3)-(1/3)= (2/3) άρα τελικά στην αρχή η ποσότητα ήταν (3/2)(5/4)(7/6)5 δηλαδή (525/48).

2. Απάντηση

Αν είναι α η ταχύτητα του τρένου Α και β του τρένου Β τότε για το μήκος μ1 του τρένου Α θα ισχύει α=(μ1/8) και για το μήκος μ2 του τρένου Β θα είναι β=(μ2/12). Άρα μ1=8α και μ2=12β. Η σχετική τους ταχύτητα επειδή κινούνται αντίθετα είναι (α+β). Δηλαδή αν το ένα έμενε ακίνητο θα έβλεπε το άλλο να κινείται με ταχύτητα (α+β). Αυτό γίνεται κατανοητό κάπως καλύτερα από τα παιδιά αν τους πούμε πως όταν πέφτει ένα κινητό στον ακίνητο τοίχο με ταχύτητα α και ο τοίχος αρχίζει να κινείται αντίθετα με ταχύτητα β είναι ως να πέφτει το κινητό σε ακίνητο τοίχο έχοντας πλέον ταχύτητα (α+β). Το μήκος των τρένων συνολικά είναι μ1+μ2= (8α+12β). Ο χρόνος που θα τα βλέπει κάποιος να περνούν είναι Χ=(8α+12β)/(α+β) και αυτό μπορεί να γραφεί και έτσι: Χ=(8α+8β)/(α+β) +4β/(α+β) άρα Χ= 8+4β/(α+β).

Εδώ γίνεται κάτι αξιοπρόσεκτο: θέτουμε α=κβ με κ>0 οπότε η προηγούμενη σχέση γίνεται: Χ= 8+4/(κ+1). Οπότε ερευνούμε για τις τιμές του κλάσματος ανάλογα με το κ. Που παίρνει τιμές από 0 και μεγαλύτερες. Για κ=0 είναι Χ= 8+4=12. Όσο αυξάνει το κ το κλάσμα [4/(κ+1)] ελαττώνεται φθάνοντας μέχρι το 0 οπότε Χ=8. Άρα για τον χρόνο που διαρκεί η συνάντησή τους μπορούμε να πούμε μόνον ότι θα κυμαίνεται μεταξύ 8 και 12 δευτερολέπτων.

Μπορείτε να στείλετε τις απορίες, τις λύσεις και τις επισημάνσεις σας στον Άλκη Γαλδαδά στην διεύθυνση [email protected]