Βγήκαν τα αποτελέσματα επί τέλους για τα περιζήτητα Πρότυπα Σχολεία. Κάποια πρώτα συμπεράσματα παρ’ όλο που δεν ανακοινώνονται χωριστά, όπως θα έπρεπε οι επιδόσεις σε Γλώσσα και Μαθηματικά είναι τα εξής:

  • Διαπιστώνεται μια χαώδης διαφορά ανάμεσα στις επιδόσεις των εξεταζόμενων στην Αθήνα και εκτός Αθηνών. Με βάσεις 75-80 και 40 αντίστοιχα. Μας φαίνεται περίεργο; Είναι πάντως άξιο σοβαρής  μελέτης και τελικά κάποιας εξήγησης, χρήσιμης για το μέλλον.
  • Ένα μόνον παιδί πήρε 100 στα 100 και ένα ακόμη 98 στις εισαγωγικές από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο αλλά γενικότερα οι βάσεις σημείωσαν μια μικρή πτώση σε σχέση με πέρυσι
  • Με δεδομένη όμως την αισθητή διαφορά στο επίπεδο δυσκολίας των θεμάτων σε σχέση με πέρυσι, που θεωρήθηκαν από όλους ευκολότερα, η πτώση δεν ήταν ευθέως ανάλογη. Κάτι που σημαίνει πως ίσως περισσότερα παιδιά παρουσιάστηκαν περισσότερο προετοιμασμένα. Ενώ ταυτόχρονα θεωρήθηκαν αυτές οι εξετάσεις ένα Βατερλό για τα καθιερωμένα φροντιστήρια(που ευφυώς σκεπτόμενα μάλλον, άφησαν το συμβάν να περάσει κρατώντας σβηστά τα φώτα τους). Αλλά τότε πώς είχαν τόσο πολύ καλύτερες επιδόσεις τα παιδιά της πρωτεύουσας; Μυστήριο;
  • Κάποιοι γονείς  ανακαλύπτουν τώρα και ένα ακόμη δυσάρεστο για κάποια παιδιά θέμα σχετικό με τις εξετάσεις αυτές. Και πρέπει να καταχωρηθεί στα υπόλοιπα ακατανόητα αυτής της διαδικασίας(που αναφέρθηκαν στις δυο προηγούμενες αναρτήσεις μας). Πρόκειται για το εξής: « Σε περίπτωση ύπαρξης ισοβαθμιών οι μαθητές κατατάσσονται με σειρά επιτυχίας, σύμφωνα με τον τυχαίο αριθμό που τους έχει αποδοθεί κατά την διαδικασία της κλήρωσης που πραγματοποιήθηκε την Παρασκευή 2 Μαΐου 2025». Δηλαδή ενώ κάποια παιδιά μπορεί να έχουν επιτύχει βαθμολογία εισαγωγής θα μείνουν έξω επειδή δεν έπιασαν και το Λόττο της 2 Μαΐου; Παράλογο; Ποιός θα απαντήσει; Η υπουργός τα βρίσκει όλα καλά;
  • Τέλος για να κοιμούνται ήσυχοι και οι εξεταστές αναφέρεται ότι «δεν προβλέπεται διαδικασία αναβαθμολόγησης»!
  • Παρ’ όλα αυτά σύμφωνα με τις δικές μας πληροφορίες ετοιμάζονται προσφυγές κατά των αποτελεσμάτων.

Ας δούμε όμως και ένα ακόμη θέμα που δόθηκε στις εισαγωγικές για τα Πρότυπα Λύκεια: Δίδονται δυο τίμια ζάρια με 4 έδρες το καθένα. Το πρώτο έχει στις έδρες του τους αριθμούς 1,3,5,8  αντίστοιχα κα το δεύτερο τους αριθμούς 2,4,6,7. Ο Α ρίχνει το πρώτο ζάρι και ο Β το δεύτερο(από μια φορά). Αν π1 είναι η πιθανότητα να νικήσει ο Α και π2 να νικήσει ο Β τότε ισχύει:

α)π1>π2   β)π1=π2   γ)π1+π2=0,9   δ)π1=π2+(1/16)   ε) π1 = π2 –(1/8)

Αν διδάσκονται στο Γυμνάσιο τόσο καλά οι πιθανότητες που τα παιδιά να μπορούν να δώσουν απάντηση μέσα σε λίγα λεπτά σε αυτό το θέμα μένω έκθαμβος. Επίσης εκφράζω την συμπάθειά μου σε όποιο παιδί έχασε χρόνο προσπαθώντας να καταλάβει τί απέγιναν οι άλλες δυο έδρες του ζαριού που έως τώρα πίστευε και αυτό όπως και εγώ ότι τα ζάρια… γεννιούνται με έξι έδρες και δεν γίνεται να χάσουν τις δυο μετά. Ομολογώ πως εμένα μου πήρε κάποια λεπτά για να με καθησυχάσω πως μπορεί απλά να ήταν το κάθε ζάρι ένα κανονικό τετράεδρο και να ξεκολλήσω από αυτό.

Στην συνέχεια για την λύση θα πρέπει να απαριθμήσεις (στο πρόχειρο ) τις δυνατές εκβάσεις αυτής τις κυβοπαιξίας, που είναι (4 επί 4) =16, οι εξής:

1,2 1,4 1,6 1,7
3,2 3,4 3,6 3,7
5,2 5,4 5,6 5,7
8,2 8,4 8,6 8,7

Από τον πίνακα παρατηρούμε ότι ο Α φέρνει μεγαλύτερο από τον Β 7 φορές στις 16 άρα η δική του πιθανότητα είναι (7/16) και του Β είναι (9/16) άρα π1=π2-(2/16) ή π1=π2-(1/8) άρα σωστό είναι το ε).

Τα προβλήματα της εβδομάδας

  1. Μπορεί να υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με τα μήκη των τριών πλευρών του να είναι ακέραιοι αριθμοί και τα μήκη των δυο καθέτων πλευρών του να είναι περιττοί αριθμοί;
  2. Εποχή δίαιτας λίγο πριν τις πρώτες εμφανίσεις παρά θιν αλός. Κάποιος λοιπόν λογαριάζει να ρίξει το σωματικό του βάρος από τα 140 κιλά στα 120 μέσα σε 60 ημέρες. Κάθε ημέρα θέλει στο τέλος της ημέρας να έχει ρίξει βάρος ανάλογο με το βάρος που έχει στην αρχή της ημέρας. Πόσα κιλά είχε χάσει μέσα στις 30 πρώτες ημέρες;

Ευτυχώς εδώ είναι και οι λύσεις τους

1. Απάντηση

Αφού τα μήκη των δυο καθέτων πλευρών είναι ακέραιοι περιττοί, θα είναι της μορφής  (2μ+1) και (2ν+1) αντίστοιχα οπότε αν γ είναι το μήκος της υποτείνουσας εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα θα έχουμε:

(2μ+1)2 + (2ν+1)2 = γ2 δηλαδή (4μ2 +4μ +1) +(4ν2 +4ν +1) = γ2. Αναδιατάσσουμε και έχουμε:                4( μ2 + ν2 ) +4(μ+ν) + 2 = γ2  (1)

Η παράσταση αυτή μας δείχνει ότι ο γ2 είναι άρτιος άρα και η  τετραγωνική του ρίζα, δηλαδή ο γ,  θα είναι άρτιος. Ας υποθέσουμε πως είναι γ=2κ τότε η (1) γίνεται:

4( μ2 + ν2 ) +4(μ+ν) + 2 = 4κ2    ή   2( μ2 + ν2 ) +2(μ+ν) + 1 = 2κ2    (2)

Αλλά στην (2) το αριστερό μέλος είναι περιττός κα το δεξιό άρτιος που είναι άτοπο.

Άρα δεν υπάρχει τέτοιο ορθογώνιο τρίγωνο.

2. Απάντηση

Αν ο άνθρωπός μας ζυγίζει w κιλά στην αρχή μιας συγκεκριμένης ημέρας, τότε χάνει kw εκείνη την ημέρα, όπου k είναι μια θετική σταθερά, μικρότερη της μονάδας άρα ζυγίζει  w- kw = (1- k)w κιλά στην αρχή της επόμενης ημέρας.  Εδώ η επόμενη από την πρώτη και οι ημέρες μετά θέλουν προσοχή και ανάλυση γιατί αλλιώς προκύπτει μια κάπως δυσκολονόητη σχέση.

Την δεύτερη ημέρα αρχίζει με βάρος  (1- k)w και χάνει από αυτό το κ[(1- k)w] . Άρα στο τέλος της δεύτερης ημέρας το βάρος του θα είναι: (1- k)w – κ[(1- k)w] οπότε προκύπτει για την δεύτερη ημέρα να ζυγίζει (1- k)2 w. Ακολουθώντας τα ίδια βήματα για τις επόμενες ημέρες θα καταλήξουμε πως την 60η ημέρα το βάρος του θα είναι:  (1- k)60 w. Από τα αριθμητικά δεδομένα με αρχικό βάρος  w = 140 και τελικό 120 μετά από 60 ημέρες προκύπτει η σχέση:

(1-k)60 140 = 120 ή (1- k)60 = (120/140) οπότε (1- k)30 = (1- k)60/2 = √[(120/140)] Στις 30 ημέρες θα ζυγίζει 140(1- k)30 δηλαδή 140[√[(120/140)] που δίνει τελικά √(140)(120) δηλαδή 129,61. Τόσα κιλά ζύγιζε μετά από τις 30 πρώτες ημέρες της δίαιτάς του άρα είχα χάσει 10,4 κιλά σε ένα μήνα(not bad).

Παρατήρηση: Μπορεί κάποιος βιαστικά να σκεφθεί πως ακριβώς στην μέση της δίαιτάς του που τον πήγε από τα 140 στα 120 κιλά θα είχε πάει στα 130 κιλά. Αυτό μαθηματικά δεν είναι σωστό και το αποτέλεσμα το αποδεικνύει. Δεν είναι σωστό διότι το βάρος που χάνει κάθε ημέρα στην αρχή είναι μεγαλύτερο από το βάρος που χάνει κάθε ημέρα στο τέλος. Οι αριθμοί είναι κοντά(10 και 10,4) διότι οι αριθμοί 120 και 140 είναι σχετικά κοντά και τότε ο αριθμητικό μέσος (120+140/2)=130 είναι κοντά στον γεωμετρικό μέσο που εδώ συμβαίνει να είναι ο √(140)(120) που έδωσε 129,61.